Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y₁=$\frac{2}{x}$
（1）当x＞0时，y₁＞0；
（2）直线y₂=-x+b，当b=2$\sqrt{2}$时，直线与双曲线有唯一公共点，问：bb＞2$\sqrt{2}$或b＜-2$\sqrt{2}$时，直线与双曲线有两个公共点；
（3）如果直线y₂=-x+b与双曲线y₁=$\frac{2}{x}$交于A、B两点，且点A的坐标为（1，2），点B的纵坐标为1．设E为线段AB的中点，过点E作x轴的垂线EF，交双曲线于点F．求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）双曲线的图象落在x轴上方时，函数值大于0，根据图象可知此时x＞0；
（2）将y=-x+b代入y=$\frac{2}{x}$，整理得出x²-bx+2=0，当△=b²-8＞0时，直线与双曲线有两个公共点，解不等式即可；
（3）将y=1代入y₁=$\frac{2}{x}$，求出x的值，得到点B的坐标，再根据中点坐标公式求出点E的坐标，将点E横坐标的值代入y₁=$\frac{2}{x}$，求出点F纵坐标的值，进而求得线段EF的长．

解答 解：（1）根据图象可得x＞0时，y₁＞0；

（2）将y=-x+b代入y=$\frac{2}{x}$，得$\frac{2}{x}$=-x+b，
整理得，x²-bx+2=0，
当△=b²-8＞0时，直线与双曲线有两个公共点，
解得b＞2$\sqrt{2}$或b＜-2$\sqrt{2}$；

（3）将y=1代入y₁=$\frac{2}{x}$，得x=2，则点B的坐标为（2，1），
∵点A的坐标为（1，2），E为线段AB的中点，
∴点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
当x=$\frac{3}{2}$时，y₁=$\frac{2}{x}$=$\frac{4}{3}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为＞0；b＞2$\sqrt{2}$或b＜-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式．