Question

5．如图，在平面直角坐标系中，已知A₁（1，1），B₁（1，0），以O为圆心OA₁为半径作圆弧交x轴于B₂，作Rt△A₂B₂O使得A₂B₂=A₁B₁且OA₂交A₁B₁于C₁，以O为圆心OA₂为半径作圆弧交x轴于B₃，作Rt△A₃B₃O使得A₃B₃=A₂B₂且OA₃交A₂B₂于C₂，…，按此规律，则C_n的纵坐标为（$\sqrt{n}$，$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$）（结果用n的代数式表示）

Answer 1

分析 易证Rt△OC₁ B₁∽Rt△OA₂ B₂，所以有$\frac{{C}_{1}B}{{A}_{2}{B}_{2}}=\frac{OB1}{O{B}_{2}}$，而A₂ B₂=1，OB₁=1，OB₂=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．所以C₁ B₁=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$，故：C₁（1，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）…以此类推，直至找出规律．

解答 解：由题意得：Rt△OC₁ B₁∽Rt△OA₂ B₂，
∴$\frac{{C}_{1}B}{{A}_{2}{B}_{2}}=\frac{OB1}{O{B}_{2}}$
∵A₂ B₂=1，OB₁=1，OB₂=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴C₁ B₁=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$，C₁ （1，$\frac{1}{\sqrt{2}}$）．
       同理可得：C₂ B₂=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，C2 （$\sqrt{2}$，$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$）
          
                        C₃ B₃=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$，C₃ （$\sqrt{3}$，$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$）…
          
∴C_n （$\sqrt{n}$，$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$）

点评 本题考查了直角坐标系中点的坐标的变化规律问题，解题的关键是求出C_n B_n的长与OB_n 的长．