Question

17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）如图②，当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{m}$时，求AF与OA的比值（用含m的代数式表示）；
（3）如图③，当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{m}$时，过点F作FG⊥BC于点G，探索EG与BG的数量关系（用含m的代数式表示），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用相似三角形的对应边成比例，得出$\frac{AF}{AC}$=$\frac{m+1}{m+2}$，再根据AC=2OA，即可得出结论；
（3）依据相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{m+1}$，再根据FG∥CD，得出$\frac{EG}{CG}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{m+1}$，根据FG∥AB，得出$\frac{CG}{BG}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{m+1}$，两式相乘即可得到$\frac{EG}{BG}$=（$\frac{1}{m+1}$）²．

解答 解：（1）∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{4}$；


（2）设EC=1，则BE=m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=m+1，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{m+1}$，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{m+1}{m+2}$，
∵$\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2OA，
∴$\frac{AF}{2OA}$=$\frac{m+1}{m+2}$，
∴$\frac{AF}{OA}$=$\frac{2m+2}{m+2}$；

（3）结论：$\frac{EG}{BG}$=（$\frac{1}{m+1}$）²，理由如下：
设EC=1，则BE=m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=m+1，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{m+1}$，
∵FG⊥BC，
∴FG∥CD，
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{m+1}$，①
∵FG∥AB，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{m+1}$，②
由①×②，可得$\frac{EG}{CG}$×$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{m+1}$×$\frac{1}{m+1}$，
即$\frac{EG}{BG}$=（$\frac{1}{m+1}$）²．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形对应边成比例列式计算．第（3）问的难点在于综合运用相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理．