Question

12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出x=0时y的值与y=0时x的值即可得答案；
（2）分m＞0和m＜0两种情况，结合函数图象可得．

解答 解：（1）由题意，当x=0时，y=2．
∴A（0，2）．
∵y=mx²-2mx+2=m（x-1）²+2-m，
∴对称轴为直线x=1．
∴B（1，0）．

（2）由题意，C（-1，0），D（3，0）．
①当m＞0时，
结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x轴下方，

即2-m＜0．
∴m＞2．
②当m＜0时，
过C（-1，0）的抛物线的顶点为E（1，$\frac{8}{3}$）．
结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点E上方或与点E重合，

即2-m≥$\frac{8}{3}$．
∴m≤$-\frac{2}{3}$．
综上所述，m的取值范围为m＞2或m≤$-\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．