如图1.在平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A两点.交y轴于点C.点D是线段OB上一动点.连接CD.将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE.过点E作直线l⊥x轴于H.交抛物线于点M.过点C作CF⊥l于F．(1)求抛物线解析式,(2)如图2.当点F恰好在抛物线上时①求点F的坐标,②求线段OD的长,③试探究在直线l上.是否存在点G.使∠EDG=45°?若存在.请直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（-1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合）
①求点F的坐标；
②求线段OD的长；
③试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，连接CM，若△COD∽△CFM，请直接写出线段OD的长．

分析（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-5），将点C的坐标代入求得a的值即可；
（2）①由题意可知CF∥x轴，则点F纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式可求得点F的横坐标；②先证明Rt△OCD≌Rt△HDE，从而得到CO=DH=3，然后由OH=4，可得到OD=1；③将CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形，然后可求得点N的坐标，接下来求得DG的解析式，然后可求得点G的坐标，由DG⊥DG′以及点D的坐标可求得DG′的解析式，然后可求得点G′的坐标；
（3）设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，-$\frac{3}{5}$a²-$\frac{6}{5}$a+$\frac{24}{5}$），然后可求得FM的长，然后由△COD∽△CFM，可得到$\frac{OC}{DO}$=$\frac{CF}{FM}$，最后依据上述比例关系列出关于a的方程求解即可．

解答解：（1）把x=0代入抛物线的解析式得：y=3，
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-5），将点C的坐标代入得：-5a=3，解得：a=-$\frac{3}{5}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{5}$x²⁺$\frac{12}{5}$x+3．

（2）①∵CF⊥l，OB⊥l，
∴CF∥x轴．
∴点F的纵坐标为3．
将y=3代入抛物线的解析式得：-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{12}{5}$x+3=3，解得x=0或x=4．
∴点F的坐标为（4，3）．
②∵点F的坐标为（4，3），
∴点H的坐标为（4，0）．
∵∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠EDH=90°．
∵∠OCD+∠CDO=90°，
∴∠OCD=∠EDH．
由旋转的性质可知：CD=DE．
在Rt△OCD和Rt△HDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OCD=∠EDH}\\{∠COD=∠DHE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCD≌Rt△HDE．
∴CO=DH=3．
又∵OH=4，
∴OD=1．
③如图1所示：将CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形．

∵四边形CDEN为正方形，
∴∠GDE=45°．
设DN的解析式为y=kx+b，将点D和点N的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=-2．
∴DN的解析式为y=2x-2．
把x=4代入得：y=6，
∴G（4，6）．
设直线DG′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+c，将点D的坐标代入得：-$\frac{1}{2}$+c=0，解得：c=$\frac{1}{2}$．
∴直线DG′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
将x=4代入得：y=-$\frac{3}{2}$．
∴点G′的坐标为（4，-$\frac{3}{2}$）．
综上所述，点G的坐标为（4，6）或（4，-$\frac{3}{2}$）．
（3）如图2所示：

设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，-$\frac{3}{5}$a²-$\frac{6}{5}$a+$\frac{24}{5}$）．
∴FM=-$\frac{3}{5}$a²-$\frac{6}{5}$a+$\frac{9}{5}$．
∵△COD∽△CFM，
∴$\frac{OC}{DO}$=$\frac{CF}{FM}$，即$\frac{3}{a}$=$\frac{3+a}{-\frac{3}{5}{a}^{2}-\frac{6}{5}a+\frac{9}{5}}$，
整理得：14a²+33a-27=0，解得a=$\frac{9}{14}$或a=-3（舍去）．
∴OD=$\frac{9}{14}$．
如图3所示：

设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，-$\frac{3}{5}$a²-$\frac{6}{5}$a+$\frac{24}{5}$）．
∴FM=$\frac{3}{5}$a²+$\frac{6}{5}$a-$\frac{9}{5}$．
∵△COD∽△CFM，
∴$\frac{OC}{DO}$=$\frac{CF}{FM}$，$\frac{3}{a}$=$\frac{a+3}{\frac{3}{5}{a}^{2}+\frac{6}{5}a-\frac{9}{5}}$，整理得：4a²+3a-27=9，解得：a=-3（舍去）或a=$\frac{9}{4}$．
∴OD=$\frac{9}{4}$．
综上所述，OD的长为$\frac{9}{14}$或$\frac{9}{4}$．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、正方形的性质、相似三角形的性质，求得直线DG和DG′的解析式是解答问题（2）的关键；依据全等三角形的性质得到点M的横坐标，然后利用相似三角形的性质列出关于a的方程是解答问题（3）的关键．