Question

20．如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=$\frac{1}{3}$AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有3条．

Answer 1

分析 能画3条：①与EF互相垂直且垂足为O，构建直角三角形，可以证明两直角三角形全等得EF=PQ；
②在AD上截取AP=$\frac{1}{3}$AD，连接PO延长得到PQ；
③同理在AB了截取BQ=$\frac{1}{3}$AB，连接QO并延长得到PQ．

解答 解：这样的直线PQ（不同于EF）有3条，
①如图1，过O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，
则PQ=EF；
②如图2，以点A为圆心，以AE为半径画弧，交AD于P，连接PO并延长交BC于Q，则PQ=EF；
③如图3，以B为圆心，以AE为半径画弧，交AB于Q，连接QO并延长交DC于点P，则PQ=EF．

点评 本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质与判定，本题虽然是做一条线段与EF相等，实际上是做好两件事：①画线段PQ，②能证明这两条线段相等，这比证明更为复杂，因此首先要构建直角三角形全等，找到与EF相等的边长的位置，本题的线段不止一条，容易丢解，要思考周全．