题目内容

在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y=-
3
4
x+3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y=kx-3（k为常数）的坐标三角形面积为6，求该函数的表达式；
（3）若函数y=-
3
4
x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．
考点：一次函数图象上点的坐标特征
专题：
分析：（1）先求函数y=-
3
4
x+3与x、y轴的交点坐标，再求三角形的三边长；
（2）先求函数y=kx-3与x、y轴的交点坐标，再求三角形两直角边的长，根据坐标三角形面积为6列出关于k的方程，解方程求解即可；
（3）求得函数y=-
3
4
x+b与x、y轴的交点坐标，再求三角形的三边长，把三边的长加起来等于16，解方程求解即可．
解答：解：（1）∵直线y=-
3
4
x+3与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴交点坐标为（0，3），
∴函数y=-
3
4
x+3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5；

（2）∵函数y=kx-3与x轴的交点坐标为（
3
k
，0），与y轴交点坐标为（0，-3），
∴OA=|
3
k
|，OB=|-3|=3，
∵S△AOB=6，
∴
1
2
×|
3
k
|×3=6，
∴|
3
k
|=4，
∴k=±
3
4
，
∴当函数y=kx-3（k为常数）的坐标三角形面积为6时，该函数的表达式为y=
3
4
x-3或y=-
3
4
x-3；

（3）直线y=-
3
4
x+b与x轴的交点坐标为（
4
3
b，0），与y轴交点坐标为（0，b），
AB=
OA2+OB2
=
(
4b
3
)2+b2
=
5
3
b，
当b＞0时，b+
4
3
b+
5
3
b=16，得b=4，
此时，S△AOB=
1
2
OA•OB=
1
2
×
16
3
×4=
32
3
，
即坐标三角形面积为
32
3
；
当b＜0时，-b-
4
3
b-
5
3
b=16，得b=-4，
此时，S△AOB=
1
2
OA•OB=
1
2
×
16
3
×4=
32
3
，
即坐标三角形面积为
32
3
．
综上，当函数y=-
3
4
x+b的坐标三角形周长为16时，面积为
32
3
．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．求出一次函数和坐标轴的交点坐标是解题的关键．
练习册系列答案
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已知二次函数y=-
1
2
x2-x-
3
2
．
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（2）求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
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