如图甲.在△ABC中.∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点.连接AD.以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE.∠ADE=∠AED=45°.∠DAE=90°.AD=AE．解答下列问题:(1)如果AB=AC.∠BAC=90°.∠ABC=∠ACB=45°．①当点D在线段BC上时.如图乙.线段CE.BD之间的位置关系为CE⊥BD .数量关系为CE=BD ．②当点D在线段BC的延� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°，AD=AE．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为CE⊥BD ，数量关系为CE=BD ．（不用证明）
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？画出相应的图形．

分析（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．

解答解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图乙，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又 BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．
故答案为：CE⊥BD； CE=BD．

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．
如图丙，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC，
∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即 CE⊥BD；

（2）如图丁所示，当∠BCA=45°时，CE⊥BD．
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG，∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．