题目内容
【题目】已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直线AE与BD交于点F.
（1）如图1所示，
①求证AE= BD
②求∠AFB (用含α的代数式表示)
（2）将图1中的△ACD绕点C顺时针旋转某个角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，得到如图2所示的图形，若∠AFB= 150°，请直接写出此时对应的α的大小(不用证明)
【答案】（1）①见解析，②180° -α（2）30°
【解析】
（1）①由∠ACD=∠BCE=α，得到∠ACE=∠DCB=180°
，然后得到△ACE≌DCB，即可得到AE=BD；
②由①知△ACE≌DCB，则∠CAF=∠CDF，利用三角形内角和定理，由∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，则∠AFB=∠DCB=
；
（2）由∠AFB= 150°，则∠EFB=
，由∠ACD=∠BCE，得∠ACE=∠DCB，然后得到△ACE≌△DCB，得到∠AEC=∠DBC，则∠BCE=∠EFB=30°.
解：（1）如图1：
①证明：∵∠ACD=∠BCE=α，
∴180°
∠ACD=180°∠BCE，
即∠ACE=∠DCB=180°，
∵CA=CD，CB=CE，
∴△ACE≌DCB，
∴AE=DB；
②∵△ACE≌DCB，
∴∠CAF=∠CDF，
由三角形内角和定理，得
∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，
∴∠AFB=∠DCB=；
（2）如图2：
∵∠AFB= 150°，
∴∠EFB=，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCO=∠BCE+∠DCO，
∴∠ACE=∠DCB，
∵AC=DC，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠DBC，
∵∠FOE=∠COB，
∴∠BCE=∠EFB=30°，
∴
.
