Question

【题目】如图，是的直径，点在上，过点作的切线．

求证：；

延长到，使，连接与交于点，若的半径为，，求的外接圆的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）的外接圆的半径为：．

【解析】

（1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，即可得出结论，（2）证明△AEC是直角三角形，即可得△AEC的外接圆的直径是AC，再证得△ABC∽△CDE，根据相似三角形的性质求得BC的长，利用勾股定理求出AC的长，即可求得△ACE的外接圆的半径．

证明：如图，连接，

∵为的直径，

∴，

∴，

又∵是的切线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴是直角三角形，

∴的外接圆的直径是，

又∵，，

∴，

∴，

的半径为，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的外接圆的半径为的一半，故的外接圆的半径为：．