Question

2．已知抛物线y=x²+x-2
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）将抛物线y=x²+x-2沿y轴向上平移，平移后与直线y=x+2的一个交点为点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，求抛物线平移了几个单位；
（3）将抛物线y=x²+x-2在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的起步部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得到关于x的方程，解方程即可求得；
（2）设平移后的抛物线为y=x²+x-2+n，求得与y的交点坐标，根据题意，把交点纵坐标代入y=x+2求得P的交点坐标，把P的交点坐标代入抛物线的解析式即可求得n的值．
（3）有图象可得当直线y=$\frac{1}{2}$x+b过点A时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，易得对应的b的值为1；当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与抛物线y=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$（-2≤x≤1）相切时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，即=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$=$\frac{1}{2}$x+b有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时b的值．

解答 解：（1）令y=0，则x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）；
（2）设抛物线向上平移了n个单位，则平移后的抛物线为y=x²+x-2+n，
如图1，∵抛物线y=x²+x-2+n与y轴的交点为（0，n-2），
∴P的纵坐标为n-2，代入y=x+2得，x=n-4，
∴P（n-4，n-2），
∴抛物线y=x²+x-2+n的对称轴为x=$\frac{n-4}{2}$=$\frac{1}{2}$n-2，
由抛物线y=x²+x-2+n可知对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$n-2=-$\frac{1}{2}$，解得n=3，
∴当PQ∥x轴时，求抛物线平移了3个单位；
（3）∵y=x²+x-2=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴抛物线y=x²+x-2的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∴抛物线y=x²+x-2图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$（-2≤x≤1），如图2，
把直线y=$\frac{1}{2}$x向上平移，当平移后的直线y=$\frac{1}{2}$x+b过点A时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，所以$\frac{1}{2}$×（-2）+b=0，解得b=1；
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与抛物线y=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$（-2≤x≤1）相切时，直线y=$\frac{1}{2}$x+b与该新图象恰好有三个公共点，即-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$=$\frac{1}{2}$x+b有相等的实数解，整理得x²+$\frac{3}{2}$x+b-2=0，△=（$\frac{3}{2}$）²-4（b-2）=0，解得b=$\frac{41}{16}$，
所以b的值为1或$\frac{41}{16}$．

点评 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．