Question

16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求弧BD的长及图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据弧长公式即可得到弧BD的长，根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可得到阴影部分的面积．

解答 解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=1，
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\sqrt{3}$，
∵OA⊥CD，
∴CE=DE，
∴CD=2$\sqrt{3}$；

（2）∵CD⊥AB，
∴$\widehat{BD}=\widehat{BC}$，
∵∠EOC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴弧BD的长=$\frac{120•2π×2}{360}$=$\frac{4π}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•EC=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}π×{2}^{2}-2\sqrt{3}$=2π-2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了垂径定理以及三角函数，弧长的计算，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．