Question

3．如图1，在△APE中，∠PAE=90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G．
（1）求证：直线PE是⊙O的切线；
（2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧$\widehat{AH}$上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH=$\frac{1}{2}$，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥PE，由PO是∠APE的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△PAO≌△PHO，得到OH=OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线PE是⊙O的切线；
（2）先利用切线的性质和△PBC的周长为4求出PA=2，再用三角函数求出OA，AG，然后用三角形相似，得到EH=2EG，AE=2EH，用勾股定理求出EG，即可．

解答 证明：（1）如图1，

作OH⊥PE，
∴∠OHP=90°，
∵∠PAE=90，
∴∠OHP=∠OAP，
∵PO是∠APE的角平分线，
∴∠APO=∠EPO，
在△PAO和△PHO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OHP=∠OAP}\\{∠OPH=∠OPA}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PHO，
∴OH=OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴OH是⊙O的半径，
∵OH⊥PE，
∴直线PE是⊙O的切线．
（2）如图2，连接GH，OH；

∵BC，PA，PB是⊙O的切线，
∴DB=BA，DC=CH，
∵△PBC的周长为4，
∴PB+PC+BC=4，
∴PB+PC+DB+DC=4，
∴PB+AB+PC+CH=4，
∴PA+PH=4，
∵PA，PH是⊙O的切线，
∴PA=PH，
∴PA=2，
由（1）得，△PAO≌△PHO，
∴∠OFA=90°，
∴∠EAH+∠AOP=90°，
∵∠OAP=90°，
∴∠AOP+∠APO=90°，
∴∠APO=∠EAH，
∵tan∠EAH=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$PA=1，
∴AG=2，
∵∠AHG=90°，
∵tan∠EAH=$\frac{GH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∵△EGH∽△EHA，
∴$\frac{EG}{EH}$=$\frac{EH}{AE}$=$\frac{GH}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
∴EH=2EG，AE=2EH，
∴AE=4EG，
∵AE=EG+AG，
∴EG+AG=4EG，
∴EG=$\frac{1}{3}$AG=$\frac{2}{3}$，
∴EH=2EG=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 此题是切线的性质和判定题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数，解本题的关键是用三角函数求出OA．