Question

6．在一次数学活动课上，老师将一块等腰直角三角形纸片PMN的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上，使直角边PM经过正方形的顶点C，另一直角边PN与AB交于点E，如图所示，问：CE和MN存在怎样的位置关系．
（1）合作交流 数学实践小组的同学展开了激烈的讨论．
小华：我猜想到结论是CE∥MN；
小歌：若想证明CE∥MN，只要能得到PC=PE，就容易证明了；
小鹏，我观察到PC和PA具有相等关系，如果能证明PA=PE，则PC和PE就相等了
…
请你利用上述交流信息或其他方法，验证他们猜想到的结论的正确性．

Answer 1

分析 作PG⊥AB于G，作PH⊥BC于H，先由ASA证明△PGE≌△PHC，得出PE=PC，得出∠PCE=∠M，即可得出结论．

解答 解：CE∥MN，理由如下：作PG⊥AB于G，作PH⊥BC于H，如图所示：
则∠PGB=∠PHB=∠PHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴四边形PGBH是矩形，PG=PH，
∴∠HPG=90°，
∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠MPN=90°，∠M=45°，
∴∠GPE=∠HPC，
在△PGE和△PHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PGE=∠PHC=90°}&{\;}\\{PG=PH}&{\;}\\{∠GPE=∠HPC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PGE≌△PHC（ASA），
∴PE=PC，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴∠PCE=45°，
∴∠M=∠PCE，
∴CE∥MN．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．