Question

Rt△ABC中，AC=BC，P为直线AB上一点，以CP为边作正方形CPED，连CE．
（1）如图1，当P为AB的中点，A、E重合时，BP²、AP²、CE²之间的关系是

BP²+AP²=CE²

．
（2）如图2，当P在AB上运动时，探究BP，AP，CE之间的关系．
（3）如图3，当P在AB的延长线上时，作出图形，并指出②中结论是否成立？（不要求证明）

Answer 1

分析：（1）当P为AB的中点时，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CP=AP=BP=

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AB，再由正方形的性质可知∠CPA=90°，根据勾股定理得到CP²+AP²=CE²，即BP²+AP²=CE²；
（2）当P在AB上运动时，连接DA、DP．先利用SAS证明△BCP≌△ACD，根据全等三角形的性质得到BP=AD，∠B=∠CAD，再证明∠DAP=90°，根据勾股定理得出AD²+AP²=PD²，进而得出BP，AP，CE之间的关系为BP²+AP²=CE²；
（3）当P在AB的延长线上时，同（2）可得出BP²+AP²=CE²，即②中结论仍然成立．

解答：解：（1）如图1，当P为AB的中点，A、E重合时，BP²+AP²=CE²．理由如下：
∵Rt△ABC中，P为AB的中点，
∴CP=AP=BP=

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2

AB．
∵四边形CPED是正方形，
∴∠CPA=90°，
∴CP²+AP²=CE²，
∴BP²+AP²=CE²，
故答案为BP²+AP²=CE²；

（2）如图2，当P在AB上运动时，BP²+AP²=CE²．理由如下：
连接DA、DP．
∵四边形CPED是正方形，
∴CP=CD，PD=CE．
在△BCP与△ACD中，

BC=AC ∠BCP=∠ACD=90°-∠ACP CP=CD

，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴BP=AD，∠B=∠CAD，
∵∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠CAB=90°，即∠DAP=90°，
∴AD²+AP²=PD²，
∵AD=BP，PD=CE，
∴BP²+AP²=CE²；

（3）当P在AB的延长线上时，如图3，此时②中结论仍然成立．理由如下：
连接DA、DP，设AP与CD交于点O．
∵四边形CPED是正方形，
∴CP=CD，PD=CE，∠PCD=90°．
在△BCP与△ACD中，

BC=AC ∠BCP=∠ACD=90°-∠BCD CP=CD

，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴BP=AD，∠BPC=∠ADC，
∵∠BPC+∠COP=90°，
∴∠ADC+∠DOA=90°，
∴∠DAP=90°，
∴AD²+AP²=PD²，
∵AD=BP，PD=CE，
∴BP²+AP²=CE²．

点评：本题考查了正方形、直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度适中．本题三问，由简单到复杂，层层递进，体现了数学中由特殊到一般的规律．本题通过证明△BCP≌△ACD，得出对应边、对应角相等是解题的关键．