Question

20．将两块三角尺放在桌面上，把直角顶点B重合在一起，如图1，在△ABC中，∠A=∠ACB=45°，在△DEB中，∠D=30°．
（1）当DE∥BC时，求∠ABE的度数；
（2）如图2将△ABC按住不动，将三角板DBE绕点B任意旋转（BD、BE均不与桌面重合）时，判断∠ABD与∠CBE有何数量关系？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当三角板DBE绕点B转动时，求∠ABE+∠CBD的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△DBE中，首先求出∠E=60°，再根据平行线的性质求出∠EBC=60°，由此即可解决问题．
（2）结论：∠ABD=∠CBE．由∠ABC=∠DBE，得∠ABD+∠ABE=∠ABE+∠CBE，即可证明．
（3）根据∠CBD+∠ABE=（90°+∠ABD）+∠ABE=90°+（∠ABD+∠ABE），即可证明．

解答 解：（1）如图1中，

∵在Rt△DBE中，∠DBE=90°，∠D=30°，
∴∠E=60°，
∵DE∥CB，
∴∠E=∠EBC=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°．

（2）如图2中，结论：∠ABD=∠CBE．

理由：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠ABE+∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE．

（3）结论：∠ABE+∠CBD=180°．
理由：∵∠CBD=∠ABC+∠ABD=90°+∠ABD，
∴∠CBD+∠ABE=90°+（∠ABD+∠ABE）=90°+90°=180°．

点评 本题考查三角形综合题、平行线的性质，等量代换等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，记住这些基本图形、基本结论，属于中考常考题型．