Question

已知：D为

AC

中点，BC为直径
（1）求证：AC•BC=2BD•CD；
（2）若AE=3，CD=2

5

，求AB、BC．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明CF=2CD；证明△BDC∽△CAF，得到

BC

CF

=

BD

AC

，根据CF=2CD，即可解决问题．
（2）如图，证明△ACF∽△DCE，列出比例式求出CE=5，此为解题的关键性结论；证明AB：BC=3：5，借助勾股定理即可解决问题．

解答：（1）证明：如图，延长CD，交BA的延长线于点F；
∵D为

AC

中点，
∴

AD

=

DC

，AD=CD，∠ACD=∠DAC；
∵BC为直径，
∴∠FAC=∠BDC=90°，
∴∠DAF=∠F，AD=DF；
∴CD=DF，CF=2CD；
∵∠FAD=∠BCD，
∴∠F=∠BCD；而∠FAC=∠BDC，
∴△BDC∽△CAF，
∴

BC

CF

=

BD

AC

，而CF=2CD，
∴AC•BC=2BD•CD．
（2）解：设CE=λ；则AC=3+λ，CF=2CD=4

5

；
∵∠CAF=∠EDC，∠ECD=∠DCE，
∴△ACF∽△DCE，
∴

CF

CE

=

AC

DC

，

4 5

λ

=

3+λ

2 5

，
整理得：λ²+3λ-40=0，
解得：λ=5或-8（舍去）；
∵D为

AC

中点，AB
∴∠ABE=∠CBE，即BE平分∠ABC，
∴

AB

BC

=

AE

EC

=

3

5

，设AB=3μ，则BC=5μ；
由勾股定理得：（3μ）²+8²=（5μ）²，
解得：μ=2，
∴AB=6，BC=10．

点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．