Question

3．观察下列算式，寻找规律，利用规律解答后面的问题：
1×3+1=4=2²，2×4+1=9=3²，3×5+1=16=4²，4×6+1=25=5²，…
（1）计算：7×9+1=64=（8）²；
（2）请你用找到的规律计算：（1+$\frac{1}{1×3}$）×$（1+\frac{1}{2×4}）$×$（1+\frac{1}{3×5}）$×$…×（1+\frac{1}{9×11}）$．

Answer 1

分析 （1）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1=64=8²；
（2）由1+$\frac{1}{n（n+2）}$）=$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n+1}{n+2}$，将原式变形为$\frac{2}{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{10}{9}$×$\frac{10}{11}$，再约分计算即可求解．

解答 解：（1）7×9+1=64=8²；
（2）（1+$\frac{1}{1×3}$）×$（1+\frac{1}{2×4}）$×$（1+\frac{1}{3×5}）$×$…×（1+\frac{1}{9×11}）$
=$\frac{2}{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{10}{9}$×$\frac{10}{11}$
=$\frac{2×10}{11}$
=$\frac{20}{11}$．
故答案为：8．

点评 本题考查了有理数的运算，是找规律题，找到（1+$\frac{1}{1×3}$）×$（1+\frac{1}{2×4}）$×$（1+\frac{1}{3×5}）$×…×（1+$\frac{1}{n（n+2）}$）=$\frac{2}{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{4}{5}$×…×$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n+1}{n+2}$=$\frac{2（n+1）}{n+2}$是解题的关键．