Question

6．如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
（1）把函数y=$\frac{1}{x}$的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，得到函数y=$\frac{6}{x}$的图象；也可以把函数y=$\frac{1}{x}$的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数y=$\frac{6}{x}$的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y=x²的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数y=4（x-1）²-2的图象；
（Ⅱ）为了得到函数y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²-2的图象，可以把函数y=-x²的图象上所有的点D．
A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥
（3）函数y=$\frac{1}{x}$的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-$\frac{2x+1}{2x+4}$的图象？（写出一种即可）

Answer 1

分析 （1）根据阅读材料中的规律即可求解；
（2）根据阅读材料中的规律以及“左减右加，上加下减”的规律即可求解；
（3）首先把函数解析式变为y=-$\frac{2x+1}{2x+4}$=$\frac{-2x-4+3}{2x+4}$=$\frac{3}{2（x+2）}$-1，然后根据（2）的规律即可求解．

解答 解：（1）把函数y=$\frac{1}{x}$的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，
设y′=6y，x′=x，将y=$\frac{y′}{6}$，x=x′带入xy=1可得y′=$\frac{6}{x′}$，得到函数y=$\frac{6}{x}$的图象；
也可以把函数y=$\frac{1}{x}$的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，
设y′=y，x′=6x，将y=y′，x=$\frac{x′}{6}$代入xy=1可得y′=$\frac{6}{x′}$，得到函数y=$\frac{6}{x}$的图象；

（2）（Ⅰ）函数y=x²的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y=4x²的图象；y=4x²的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y=4（x-1）²的图象；y=4（x-1）²的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y=4（x-1）²-2的图象．
（Ⅱ）为了得到函数y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²-2的图象，可以把函数y=-x²的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y=-x²-2的图象，再把y=-x²-2的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，得到y=-（x-$\frac{1}{2}$）²-2的图象；最后把y=-（x-$\frac{1}{2}$）²-2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y=-（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）²-2的图象，即y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²-2的图象．

（3）∵y=-$\frac{2x+1}{2x+4}$=$\frac{-2x-4+3}{2x+4}$=$\frac{3}{2（x+2）}$-1，
∴函数y=$\frac{1}{x}$的图象先将纵坐标变为原来的$\frac{3}{2}$倍，横坐标不变，得到y=$\frac{3}{2x}$；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y=-$\frac{2x+1}{2x+4}$的图象．
故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y=4（x-1）²-2；（Ⅱ）D．

点评 本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．