题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+
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与直线ABy=
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x+
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交于x轴上的一点A，和另一点B（4，n）．点P是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线PQ与直线AB垂直，交直线AB于点Q，．
（1）求抛物线的解析式和cos∠BAO的值；
（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出线段PQ长的最大值；
（3）点E是抛物线上一点，过点E作EF∥AC，交直线AB与点F，若以E、F、A、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点E的坐标．
分析：（1）令直线AB解析式中y=0求出x的值，确定出A的坐标，将B坐标代入直线AB解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；过B作BH垂直于x轴，由B坐标求出OH与BH的长，根据OA+OH求出AH的长，利用勾股定理求出AB的长，在直角三角形ABH中，利用锐角三角函数定义即可求出cos∠BAO的值；
（2）过P作PM平行于y轴，交直线AB解析式于点M，PM的长等于P的纵坐标减去M纵坐标，表示出即可；由∠BAH=∠MPQ，得到两角的余弦值相等，在直角三角形MPQ中，由PM表示出PQ，利用二次函数的性质即可求出PQ的最大值；
（3）由C坐标及直线AB解析式，利用点到直线的距离公式求出C到直线AB的距离，设E坐标为（a，-
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a2+2a+
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），根据平行四边形的性质得到E到直线AB的距离等于C到直线AB的距离，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出满足题意E的坐标．
解答：解：（1）把y=0代入y=
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x+
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得：x=-1，
∴A（-1，0），
把点B（4，n）代入y=
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x+
1
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得：n=
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，
∴B（4，
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），
把A（-1，0）、B（4，
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）代入y=ax2+bx+
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得：
a-b+
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=0
16a+4b+
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=
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，
解得：
a=-
1
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b=2
，
∴y=-
1
2
x2+2x+
5
2
，
过点B作BH⊥x轴于点H，则BH=2.5，OH=4，
∴AH=5，
由勾股定理得：AB=
AH2+BH2
=
5
5
2
，
∴cos∠BAO=
AH
AB
=
5
5
5
2
=
2
5
5
；
（2）过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，
P（m，-
1
2
m2+2m+
5
2
），M（m，
1
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m+
1
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）
∴PM=（-
1
2
m2+2m+
5
2
）-（
1
2
m+
1
2
）=-
1
2
m2+
3
2
m+2，
∵∠BAH=∠MPQ，
∴PQ=PMcos∠MPQ=PMcos∠BAH=
2
5
5
（-
1
2
m2+
3
2
m+2）=-
5
5
m2+
3
5
5
m+
4
5
5
，
∵-
5
5
＜0，
∴当m=-
3
5
5
2×(-
5
5
)
=
3
2
时，PQ最大值=
5
5
4
；
（3）设E（a，-
1
2
a2+2a+
5
2
），
∵C（0，
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），直线AB解析式为y=
1
2
x+
1
2
，
∴点C到直线AB的距离d=
|-
5
2
+
1
2
|
(
1
2
)2+(
1
2
)2
=2
2
，
∴E到直线AB的距离d=
|
1
2
a+
1
2
a2-2a-
5
2
|
(
1
2
)2+(
1
2
)2
=2
2
，即|
1
2
a2-
3
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a-2|=2，
整理得：a2-3a-8=0或a2-3a=0，
解得：a=
3+
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或a=
3-
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或a=0（与C重合，舍去）或a=3，
则E坐标为（3，4），（
3+
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，
-3+7
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4
），（
3-
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，
-3-
41
4
）
点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式，点到直线的距离公式，勾股定理，锐角三角函数定义，坐标与图形性质，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法及点到直线的距离公式是解本题的关键．
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8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）
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，
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），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
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