Question

如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H
（1）求证：AG⊥BE；
（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，再利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠DCF，从而得到∠ABE=∠DAG，再根据∠DAG+∠BAH=90°求出∠BAE+∠BAH=90°，然后求出∠AHB=90°，再根据垂直的定义证明；
（2）取AB的中点O，连接OD、OH，利用勾股定理列式求出OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OH，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出O、D、H三点共线时，DH最小．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAD=∠ADC AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，

AD=CD ∠ADB=∠CDB DG=DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE；

（2）取AB的中点O，连接OD、OH，
∵正方形的边长为4，
∴AO=OH=

1

2

×4=2，
由勾股定理得，OD=

42+22

=2

5

，
由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，
DH_最小=2

5

-2．
故答案为：2

5

-2．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，难点在于（2）作辅助线并确定出DH最小时的情况．