Question

3．如图，CD是△ABC的边BC的延长线，射线BE、CE相交于点E．
（1）若BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD，求证：∠E=$\frac{1}{2}∠A$；（提示：∠E=∠ECD-∠EBC）
（2）根据（1）的结论及提示猜想：若∠EBC=$\frac{1}{n}∠ABC$，∠ECD=$\frac{1}{n}∠ACD$，∠A=60°，则∠E的度数为$\frac{60°}{n}$（用含n的式子表示）
（3）在（2）的条件下，当CE∥AB，∠ABC=30°时，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据外角的性质，可得∠A=∠ACD-∠ABC，根据角平分线的定义，可得∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，再根据∠ECD是△BCE的外角，可得∠E=∠ECD-∠EBC，据此可得结论；
（2）根据外角的性质，可得∠A=∠ACD-∠ABC，根据∠ECD是△BCE的外角，可得∠E=∠ECD-∠EBC，据此可得∠E的度数；
（3）根据平行线的性质，即可得到∠ECD=∠ABC=30°，∠ACE=∠A=60°，根据∠ACD=60°+30°=90°，即可得出∠ECD=$\frac{1}{3}$∠ACD，进而得到n的值．

解答 解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ACD-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}∠A$；

（2）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=$\frac{1}{n}∠ACD$-$\frac{1}{n}∠ABC$=$\frac{1}{n}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{n}$∠A=$\frac{60°}{n}$，
故答案为：$\frac{60°}{n}$；

（3）当CE∥AB，∠A=60°，∠ABC=30°时，∠ECD=∠ABC=30°，∠ACE=∠A=60°，
∴∠ACD=60°+30°=90°，
∴∠ECD=$\frac{1}{3}$∠ACD，
∴n=3．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．解决问题的关键是运用三角形外角性质进行计算．