Question

13．已知：如图1，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且BD=CE，联结AE、CD．
（1）试说明△CBD≌△ACE的理由；
（2）如果将△CBD绕着点B逆时针旋转60°（如图2），此时点C与点A重合，点D落在点G处，联结AG、EG，猜想△AEG是什么三角形？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质知AC=BC、∠1=∠2=60°，得出∠3=∠4=120°，结合BD=CE可证△CBD≌△ACE；
（2）由△ABG≌△CBD得AG=CD、∠5=∠6，由△CBD≌△ACE得CD=AE、∠5=∠7，据此知AG=AE、∠6=∠7，由∠6+∠8=∠7+∠8=60°可得答案．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形（已知），
∴AB=AC=BC，∠1=∠2=∠BAC=60°（等边三角形的性质）．
∴∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°（邻补角的意义），
∴∠3=∠4=120°（等角的补角相等）．
在△CBD和△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠3=∠4}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ACE（SAS）；


（2）猜想：△AEG是等边三角形． 
∵△ABG是△CBD绕着点B逆时针旋转60°得到的，
∴△ABG≌△CBD．
∴AG=CD，∠5=∠6．
∵△CBD≌△ACE，
∴CD=AE，∠5=∠7．
∴AG=AE，∠6=∠7，
∴△AED′是等腰三角形． 
∵∠6+∠8=60°，
∴∠7+∠8=60°．
即∠GAE=60°．
∴△AEG是等边三角形．

点评 本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转不变性是解题的关键．