Question

2．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CD=4CF，下列结论：
①∠BAE=30°，②△ABE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE=2EF，⑤△ABE∽△AEF．
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先由线段的关系得出$\frac{AB}{BE}$=$\frac{CE}{CF}$=2，即可判断出①错误，再利用两边对应成比例，夹角相等得出△ABE∽△ECF，△ABE∽△AEF，最后用同角的余角相等，即可得出②③④⑤正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°
∵E是BC的中点，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAE＜30°，
所以①错误；
∴$\frac{AB}{BE}$=2
∵CD=4CF，
∴$\frac{CE}{CF}$=2，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{CE}{CF}$，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{CE}$=2，
∴AE=2EF，
所以②④正确；
∵△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
所以③正确；
∵$\frac{AB}{BE}$=2，$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{CE}$=2，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{EF}$，
∵∠B=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF，
所以⑤正确，
即：正确的有②③④⑤四个；
故选C．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，解本题的关键是判断出△ABE∽△ECF．