Question

11．如图，四边形ABCD与四边形OEFG都是正方形，O是正方形ABCD的中心，OE交BC于点M，OG交CD于点N，下列结论：
①△ODG≌△OCE；
②GD=CE；
③OG⊥CE；
④若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积等于1，
其中正确的结论序号是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 先由正方形的性质得出OD=OC，AC⊥BD，∠ODN=∠OCM=45°，进而判断出∠DOG=∠COE，即可得出△DOG≌△COE，得出①②正确，利用过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断③错误，再判断出△DON≌△COM，得出S_△COD=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}即可求出四边形OMCN的面积，即可判断出④错误．

解答 解：∵O是正方形ABCD的中心，
∴OD=OC，AC⊥BD，∠ODN=∠OCM=45°，
∴∠DOC=90°，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=OE，∠EOG=90°，
∴∠DOG=∠COE，
在△DOG和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠DOG=∠COE}\\{OG=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOG≌△COE，
∴DG=CE，
所以①②正确，
∵∠EOG=90°，
∴OE⊥OG，
过点E有且只有一条直线和OG垂直，
∴OG不垂直CE，
所以③错误；
在△DON和△COM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ODN=∠OCM}\\{OD=OC}\\{∠DON=∠COM}\end{array}\right.$，
∴△DON≌△COM，
∴S_△DON=S_△COM，
∴S_{四边形OMCN}=S_△COD，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴S_△COD=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=1，
∴S_{四边形OMCN}=S_△COD=1；
所以④错误，
即：正确的有①②④，
故选C．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△DOG≌△COE，是一道中考常考题．