题目内容
10．如图，在直角坐标系中，直线AB与直线y=x相交于点A（3，a），与x轴的交点为B（9，0）．（1）求a的值，以及直线AB的解析式；
（2）若有一动点M从原点出发，沿x轴正半轴向点B运动，过M作直线l⊥x轴，直线l与△OAB的另一边交点记为N，点O关于直线l作轴对称变换，对称点为Q，
①当MN=2时，求点Q的坐标；
②连结AQ，若△QAB为直角三角形，则此时的MN的长为1.5或$\frac{3}{4}$（直接写出答案）．
分析 （1）将点A的坐标代入y=x，可求得a=3，然后利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）①当交点N在OA上时，将y=2代入y=x，可求得点N的坐标为（2，2），从而可得到直线l的解析式为x=2，然后轴对称图形的性质可求得点Q的坐标，当交点N在AB上时，将y=2代入直线AB的解析式，点N的坐标为（2，2），从而可得到直线l的解析式为x=2，然后轴对称图形的性质可求得点Q的坐标；
②先求得AB的长，然后根据∠AQB=90°或∠QAB=90°进行分类计算即可．
解答 解：（1）∵将（3，a）代入y=x得；a=3．
∴点A的坐标为（3，3）．
设直线AB的解析式为y=kb+b，将点A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{9k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$k=-\frac{1}{2}$，b=$\frac{9}{2}$．
∴直线AB的解析式为y=$-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$．
（2）①当点N在OA上时．
∵将y=2代入y=x得；x=2，
∴点N的坐标为（2，2）．
∴直线l的解析式为x=2．
∵点Q与点O关于l对称，
∴点Q的坐标为（4，0）．
当点N在AB上时．
∵将y=2代入y=-$\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}$得x=5，
∴点N的坐标为（5，2）．
∴直线l的解析式为x=5．
∵点Q与点O关于x=5对称，
∴点Q的坐标为（10，0）．
②∵点A（3，3）、B（9，0），
∴AB=$\sqrt{（9-3）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
当∠QAB=90°时．
∵直线AB的一次项系数k=-$\frac{1}{2}$，
∴QB=AB×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=3$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=7.5．
∴OQ=1.5．
∴点N的横坐标为$\frac{3}{4}$．
将x=$\frac{3}{4}$时，代入y=x得：y=$\frac{3}{4}$．
∴MN=$\frac{3}{4}$．
当∠AQB=90时，AQ⊥OB，
∴点Q的横坐标为3．
∴点M的横坐标为1.5．
将x=1.5代入y=x得：y=1.5．
∴MN=1.5．
故答案为：1.5或$\frac{3}{4}$．
点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称图形的性质，分类讨论是解答本题的关键．
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=4，BD=2，求$\frac{DE}{BC}$的值．
李大爷按每千克2.1元批发了一批南丰蜜橘到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场售出一些后，又降低出售．售出蜜橘千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：