Question

【题目】如图，是的直径，点在上，，FD切于点，连接并延长交于点，点为中点，连接并延长交于点，连接，交于点，连接．

（1）求证：；

（2）若的半径为，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

(1)利用圆周角定理及，求得∠ABC=30°，利用切线的性质求得∠D=30°，根据直角三角形30度角的性质从而证出；

(2)先证得△OAC为等边三角形，求得的长，过点C作CM⊥AO于点M，证出△CME∽△FBE，求出，利用勾股定理求出，利用面积法即可求出．

(1) 连接BC，

∵AB是⊙O的直径，，
∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴，
∵BD切于点，
∴AB⊥DB，
∴∠D=90∠BAD=9060°=30°，

∴AD=2AB，

∴AD=4AC，

∴；

(2) 连接OC，过点C作CM⊥AO于点M，

∵∠BAC=60°，OA=OC，

∴△OAC为等边三角形，

∴AC=OA=OC=2，OM=MA=1，

∵CM⊥AO，

∴OM=MA==1，

在中， ，，

∴，

∵点为中点，

∴，

∴，

∵BF切于点，
∴AB⊥FB，
∴∠FBE=90，

∵∠FEB=∠CEM，

∴，

∴，即，

∴，

在中，，，，

∴，

∵AB是⊙O的直径
∴∠AGB=90°，

∴BG⊥AF，

∵，

∴，

∴