题目内容
【题目】如图，抛物线
:
与
:
相交于点
、
，与分别交
轴于点
、
，且为线段
的中点.
（1）求
的值；
（2）若
,求
的面积；
（3）抛物线的对称轴为
，顶点为
，在（2）的条件下：
①点
为抛物线对称轴上一动点，当
的周长最小时，求点的坐标；
②如图12.2，点
在抛物线上点与点之间运动，四边形
的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
；（3）①P（
，
）；②存在，
【解析】
（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；
（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥x轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；
（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；
②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．
解：
（1）在y=x2+ax中，
当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，
∴B（﹣a，0），
在y=﹣x2+bx中，
当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，
∴A（0，b），
∵B为OA的中点，
∴b=﹣2a，
∴；
（2）联立两抛物线解析式可得：
，
消去y整理可得
，
解得
，
，
当
时，
，
∴C（
，
），
过C作CD⊥x轴于点D，如图1，
∴D（，0），
∵∠OCA=90°，
∴△OCD∽△CAD，
∴
，
∴CD2=ADOD，即
，
∴a1=0（舍去），
（舍去），
，
∴OA=-2a=
，CD==1，
∴
；
（3）①抛物线
，
∴其对称轴
，点A关于l2的对称点为O（0，0），C（
，1），
则P为直线OC与l2的交点，
设OC的解析式为y=kx，
∴1=k，得k=
，
∴OC的解析式为
，
当
时，
，
∴P（，）；
②设E（m，
）（
），则
，
而B（，0），C（ ，1），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
由
，解得：k= ，b=-2，
∴直线BC的解析式为
，
过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，
则
，即x=
∴EN=
∴
∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC
，
，
∴当
时，
，
当时，
，
∴E（
，
），．
