Question

15．若关于x的方程25x²-mx+12=0的两根是Rt△ABC两锐角的正弦值，求m的值．

Answer 1

分析 设Rt△ABC两锐角为∠A、∠B，根据根与系数的关系得到sinA+sinB=$\frac{m}{25}$，sinA•sinB=$\frac{12}{25}$，再利用三角函数之间的关系（sin²A+sin²B=1）得到（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，所以（$\frac{m}{25}$）²-2×$\frac{12}{25}$=1，然后解方程求后利用sinA和sinB都是正数可确定m的值．

解答 解：设Rt△ABC两锐角为∠A、∠B，
根据题意得sinA+sinB=$\frac{m}{25}$，sinA•sinB=$\frac{12}{25}$，
∵sin²A+sin²B=1，
∴（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
∴（$\frac{m}{25}$）²-2×$\frac{12}{25}$=1，解得m₁=35，m₂=-35，
而sinA+sinB=$\frac{m}{25}$＞0，
∴m的值为35．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了互余两角三角函数的关系．