Question

19．已知：一条动直线y═mx+n与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于点A（a，b）和点B（-b，-a），且b＞a＞0，若直线y=mx+n与y轴交于点C，点O是原点，且△AOC的面积为$\frac{k}{2}-\frac{2}{{b}^{2}}$，求双曲线的解析式．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥y轴于点E，由点A、B的坐标结合直线AB的解析式即可得出n=b-a，将x=0代入直线AB的解析式中即可求出点C的坐标，从而得出CE的长，再根据三角形的面积、反比例函数系数k的几何意义结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出a²•b²=（ab）²=k²=4，解之即可得出k值，此题得解．

解答 解：过点A作AE⊥y轴于点E，如图所示．
∵点A（a，b）和点B（-b，-a）在直线y═mx+n上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=am+n}\\{-a=-bm+n}\end{array}\right.$，解得：n=b-a．
当x=0时，y=mx+n=n=b-a，
∴点C（0，b-a），
∴CE=b-（b-a）=a，
∴S_△AOC=S_△AOE-S_△ACE=$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{2}$AE•CE=$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{2}$a•a=$\frac{k}{2}-\frac{2}{{b}^{2}}$，
∴a²•b²=（ab）²=k²=4，
解得：k=2或k=-2（舍去）．
∴双曲线的解析式为y=$\frac{2}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积、反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据三角形的面积、反比例函数系数k的几何意义结合反比例函数图象上点的坐标特征找出（ab）²=k²=4是解题的关键．