Question

9．如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．
（1）求证：AM=BN；
（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由CA=CB，E，F分别是CA，CB边的三等分点，得CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，证明△AMC≌△BNC即可；
（2）当MA∥CN时，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到∠CAM+∠ACM=90°，所以cosα=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，
∴CE=CF，
根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，
在△AMC和△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACM=∠BCN}\\{CM=CN}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△BNC，
∴AM=BN；
（2）∵MA∥CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∵∠ACN+∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠AMC=90°，
∴cosα=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质以及锐角三角函数的综合运用，难度适中，掌握旋转的性质是关键．