Question

20．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．
（1）求证：AB•AD=BF•ED；
（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D，AB∥CD，∠BAF=∠DEA，推出△ABF∽△EDA，于是即可得到结论；
（2）根据∠DAE=90°，得到∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，根据CD=CA，推出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB∥CD且AB=CD，证出四边形ABEC是平行四边形．由于CE=CA，推出四边形ABEC是菱形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DEA，
∴△ABF∽△EDA，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BF}{AD}$，
∴AB•AD=BF•ED；

（2）∵∠DAE=90°，
∴∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，
∵CD=CA，
∴∠DAC=∠D，
∴∠AED=EAC，
∴CE=CA，
∴CE=CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD，
∴AB∥EC且AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵CE=CA，
∴四边形ABEC是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，熟记定理是解题的关键．