如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=a(x-2)2-4与y轴交于点A.顶点为B.点A的坐标为.点C在抛物线上.过点C作y轴的垂线交抛物线于点D.连结AC.AD.CD.设点C的横坐标为m．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)用含m的代数式表示线段CD的长．(3)点E是抛物线对称轴上一点.且点E的纵坐标比点C的纵坐标小1.连结BD.DE.设△ACD的面积为S1.△BDE的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）²-4与y轴交于点A，顶点为B，点A的坐标为（0，-2），点C在抛物线上（不与点A，B重合），过点C作y轴的垂线交抛物线于点D，连结AC，AD，CD，设点C的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．
（2）用含m的代数式表示线段CD的长．
（3）点E是抛物线对称轴上一点，且点E的纵坐标比点C的纵坐标小1，连结BD，DE，设△ACD的面积为S₁，△BDE的面积为S₂，且S₁•S₂≠0，求S₂=$\frac{2}{3}$S₁时m的值．
（4）将抛物线y=a（x-2）²-4沿x=2平移，得到抛物线y=a（x-2）²+k，过点C作y轴平行线与抛物线y=a（x-2）²+k交于点F，若CD与y轴交于点G，且CD=6，直接写出使AC=FG的点F的坐标．

分析（1）把A（0，-2）代入抛物线切线a=$\frac{1}{2}$即可；
（2）抛物线的对称轴为直线x=2，且点C的横坐标为m，得出当m＜2，且m≠0时，CD=4-2m，当m＞2时，CD=2m-4；
（3）求出BE=$\frac{1}{2}$m²-2m+1或BE=-$\frac{1}{2}$m²+2m-1，由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
（4）由题意得出则四边形AGCF是矩形，求出点C的坐标，分情况讨论，根据点的坐标关系即可得出答案．

解答（1）∵抛物线y=a（x-2）²-4与y轴交于点A（0，-2），
∴-2=4a-4，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-4，
即y=$\frac{1}{2}$x²-2x-2；
（2）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-4的对称轴为直线x=2，且点C的横坐标为m，
∴当m＜2，且m≠0时，CD=4-2m；
当m＞2时，CD=2m-4；
（3）∵B（2，-4），E（2，$\frac{1}{2}$m²-2m-3），
∴BE=$\frac{1}{2}$m²-2m+1或BE=-$\frac{1}{2}$m²+2m-1，
∴S₁=$\frac{1}{2}$•CD•（$\frac{1}{2}$m²-2m）或S₁=$\frac{1}{2}$•CD•（-$\frac{1}{2}$m²+2m），S₂=$\frac{1}{2}$•CD•（$\frac{1}{2}$m²-2m+1）或S₂=$\frac{1}{2}$•CD•（-$\frac{1}{2}$m²+2m-1），
∵S₂=$\frac{2}{3}$S₁，
∴4•（$\frac{1}{2}$m²-2m）=3•（$\frac{1}{2}$m²-2m+1），或4•（$\frac{1}{2}$m²-2m）=-3•（$\frac{1}{2}$m²-2m+1），
解得：m=2±$\sqrt{10}$或m=$\frac{14±\sqrt{154}}{7}$；
（4）若AC=FG，连接AF，则四边形AGCF是矩形，
∵CD=6，抛物线的对称轴为x=2，
∴点C的横坐标为-1或5；
①当点C的横坐标为-1时，点C的纵坐标=$\frac{1}{2}$×（-1）²-2×（-1）-2=$\frac{1}{2}$，
当抛物线向下平移时，如图所示，
∵点A的坐标为（0，-2），
∴点F的坐标为（-1，-2）；
当抛物线向上平移时，同理得出点F的坐标为（-1，3）；
②当点C的横坐标为5时，点C的纵坐标为$\frac{1}{2}$，
当抛物线向下平移时，同理的点F的坐标为（5，-2）；
当抛物线向上平移时，同理得出点F的坐标为（5，3）；
综上所述：点F的坐标为（-1，-2）或（-1，3）或（5，-2）或（5，3）．