题目内容
如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（1）填空：点A坐标为
（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
考点：二次函数综合题,三角形的面积,勾股定理,矩形的性质
专题：代数几何综合题,压轴题
分析：（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC=90°时；当∠PQC=90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=-
（t-2）2+1，依此即可求解．
（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC=90°时；当∠PQC=90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；
（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=-
| 1 |
| 4 |
解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3-1）2+4=0，
解得a=-1．
故抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；
（2）依题意有：OC=3，OE=4，
∴CE=
=
=5，
当∠QPC=90°时，
∵cos∠QCP=
=
，
∴
=
，
解得t=
；
当∠PQC=90°时，
∵cos∠QCP=
=
，
∴
=
，
解得t=
．
∴当t=
或t=
时，△PCQ为直角三角形；
（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得
．
故直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵P（1，4-t），将y=4-t代入y=-2x+6中，得x=1+
，
∴Q点的横坐标为1+
，
将x=1+
代入y=-（x-1）2+4中，得y=4-
．
∴Q点的纵坐标为4-
，
∴QF=（4-
）-（4-t）=t-
，
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ
=
FQ•AG+
FQ•DG
=
FQ（AG+DG）
=
FQ•AD
=
×2（t-
）
=-
+t
=-
（t2+4-4t-4）
=-
（t-2）2+1，
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3-1）2+4=0，
解得a=-1．
故抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3；
（2）依题意有：OC=3，OE=4，
∴CE=
| OC2+OE2 |
| 32+42 |
当∠QPC=90°时，
∵cos∠QCP=
| PC |
| CQ |
| OC |
| CE |
∴
| 3-t |
| 2t |
| 3 |
| 5 |
解得t=
| 15 |
| 11 |
当∠PQC=90°时，
∵cos∠QCP=
| CQ |
| PC |
| OC |
| CE |
∴
| 2t |
| 3-t |
| 3 |
| 5 |
解得t=
| 9 |
| 13 |
∴当t=
| 15 |
| 11 |
| 9 |
| 13 |
（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
|
解得
|
故直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵P（1，4-t），将y=4-t代入y=-2x+6中，得x=1+
| t |
| 2 |
∴Q点的横坐标为1+
| t |
| 2 |
将x=1+
| t |
| 2 |
| t2 |
| 4 |
∴Q点的纵坐标为4-
| t2 |
| 4 |
∴QF=（4-
| t2 |
| 4 |
| t2 |
| 4 |
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| t2 |
| 4 |
=-
| t2 |
| 4 |
=-
| 1 |
| 4 |
=-
| 1 |
| 4 |
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，矩形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值，以及分类思想的运用．
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