Question

如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理

专题：压轴题

分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=

2

OA=2

2

，由于S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S_{四边形DAEB}=S_△DAB+S_△EAB=

1

2

AB•CD+

1

2

AB•CE=

1

2

AB（CD+CE）=

1

2

AB•DE=

1

2

×2

2

×4=4

2

．

解答：解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=2

2

，
∵S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S_{四边形DAEB}=S_△DAB+S_△EAB=

1

2

AB•CD+

1

2

AB•CE=

1

2

AB（CD+CE）=

1

2

AB•DE=

1

2

×2

2

×4=4

2

．
故答案为：4

2

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．