Question

如图，已知抛物线l₁：y=x²-4与x轴相交于A，C两点．
（1）若抛物线l₂与抛物线l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；
（2）点B是抛物线l₁上一动点（B不与A，C重合），以AC为对角线，A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点是D，求证：D在抛物线l₂上；
（3）探究：当B沿l₁分别移动到x轴上方或下方时，?ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，请指出它是什么特殊平行四边形，并求出其面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据抛物线l₁的解析式求出点A、C的坐标，以及顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出l₂的顶点坐标，然后利用待定系数法求出l₂的解析式；
（2）设点B的坐标为（x₁，x₁²-4），根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出点D的坐标，代入解析式即可证明：点D在l₂上；
（3）首先表示出S的值，根据函数值的范围即可得当点B在x轴上方时，y₁＞0，S=4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，从而得到S既无最大值也无最小值；当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0，根据一次函数的增减性判断出点B的位置，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明，并求出S_最大=16．

解答：（1）解：∵l₁与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l₁与l₂关于x轴对称，
∴l₂过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
设y=ax²+4，
则4a+4=0，
解得a=-1，
∴l₂的解析式为y=-x²+4；

（2）证明：设B（x₁，y₁），
∵点B在l₁上，
∴B（x₁，x₁²-4），
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，
∴B、D关于O对称，
∴D（-x₁，-x₁²+4），
将D（-x₁，-x₁²+4）的坐标代入l₂：y=-x²+4，
∴左边=右边，
∴点D在l₂上；

（3）解：设平行四边形ABCD的面积为S，
则S=2S_△ABC=AC×|y₁|=4|y₁|，
①当点B在x轴上方时，y₁＞0，
∴S=4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值；
②当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0，
∴S=-4y₁，它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，
∴当y₁=-4时，S有最大值16，但它没有最小值，
此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
此时S_最大=16．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了关于x轴对称的点的坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质和菱形的判定，利用一次函数的增减性求最值问题．