题目内容

如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2 $数学公式$ ）、D（0，3 $数学公式$ ），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是；②∠CAO=度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为__；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2 $\text{[math]}$ ），
∴点B的坐标为：（6，2 $\text{[math]}$ ）；

②∵tan∠CAO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠CAO=30°；

③如下图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3 $\text{[math]}$ ），

∴PE=3 $\text{[math]}$ ，
∴AE= $\text{[math]}$ =3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3 $\text{[math]}$ ）；

故答案为：①（6，2 $\text{[math]}$ ），②30，③（3，3 $\text{[math]}$ ）；

（2）情况①：MN=AN=3，
则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°，
∵∠PQO=60°，
即∠MQO=60°，
∴点N与Q重合，
∴点P与D重合，
∴此时m=0，

情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴；
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA-IQ-OI）•sin60°= $\text{[math]}$ （3-m）= $\text{[math]}$ AM= $\text{[math]}$ AN= $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ （3-m）= $\text{[math]}$ ，
解得：m=3- $\text{[math]}$ ，

情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG= $\text{[math]}$ ，
∴QK= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3，GQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴KG=3-0.5=2.5，AG= $\text{[math]}$ AN=1.5，
∴OK=2，
∴m=2，

（3）当0≤x≤3时，
如图，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得 $\text{[math]}$ ，
EF= $\text{[math]}$ （3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
S_梯形= $\text{[math]}$ （EF+OQ）•OC= $\text{[math]}$ （3+x），

当3＜x≤5时，S=S_梯形-S_△HAQ=S_梯形- $\text{[math]}$ AH•AQ= $\text{[math]}$ （3+x）- $\text{[math]}$ （x-3）²，

当5＜x≤9时，
∵BC∥PD，
∴△OCE∽△OPD，
∴CE：PD=2：3，
∴CE= $\text{[math]}$ x，
∴BE=BC-CE=6- $\text{[math]}$ x，
∴S= $\text{[math]}$ （BE+OA）•OC= $\text{[math]}$ （12- $\text{[math]}$ x），

当9＜x时，S= $\text{[math]}$ OA•AH= $\text{[math]}$ ．

分析：（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．