Question

18．已知⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，C为⊙O上一点，分别连接AC，CD，CD交AB于点P，AC=6，BD=7，CP=4，AP=3，则sin∠ADC=$\frac{18}{23}$．

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质得到PB=$\frac{14}{3}$，求得AB=$\frac{23}{3}$，连接BC，根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：如图，∵∠CAB=∠CDB，∠ACD=∠ABD，
∴△APC∽△DPB，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{PC}{PB}$，
∵AC=6，BD=7，CP=4，
∴$\frac{6}{7}$=$\frac{4}{PB}$，
∴PB=$\frac{14}{3}$，
∴AB=$\frac{23}{3}$，
连接BC，则∠ABC=∠ADC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ADC=sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{18}{23}$．
故答案为：$\frac{18}{23}$．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的作出图形是解题的关键．