Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC、PD．若△DPC为直角三角形，则BE的长3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．

Answer 1

分析 分两种情形讨论：①如图1中，当∠PDC=90°时．②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x．分别求解即可．

解答 解：①如图1中，当∠PDC=90°时，

∵∠ADC=90°，
∴∠ADC+∠PDC=180°，
∴A、D、P共线，
∵EA=EP，∠AEP=90°，
∴∠EAP=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE=45°，
∵∠B=90°
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴BE=AB=3．
②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x，

∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠PEF，
在△ABE和△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠PEF}\\{∠B=∠F=90°}\\{AE=EP}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EFP，
∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，
∴CF=3-（5-x）=x-2，
∵∠DPH+∠CPH+90°，∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠DPH=∠PCH，
∵∠DHP=∠PHC，
∴△PHD∽△CHP，
∴PH²=DH•CH，
∴（x-2）²=x（3-x），
∴x=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{4}$（舍），
∴BE=$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$，
综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．
故答案为：3或$\frac{7+\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．