Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4．以斜边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时α等于________°，△DEG的面积为________．

Answer 1

60    
分析：根据直角三角形性质求出AC，∠A，根据旋转性质求出DA=DC，得出等边三角形ADC，求出∠EDG=60°和DC，求出ED长，求出∠DGE=90°，求出DG和EG，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，AC=AB=2，
∵以斜边AB的中点D为旋转中心，点A的对应点与点C重合，
∴DA=DC，
∴∠A=∠ACD=60°，
∴△ADC是等边三角形，
AC=AD=DC=2，∠ADC=60°=∠EDG，
∴DE=CE-CD=4-2=2，∠DGE=90°，
∵∠E=30°，
∴DG=DE=1，
由勾股定理得：GE=，
∴S_△DEG=DG×GE=×1×=．
故答案为：60，．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的面积等知识点的运用，关键是求出DG和EG的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，难度适中．