Question

7．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的切线BC与射线AO交于点C，若∠C=45°，⊙O的半径为6，则图中阴影部分的面积等于（　　）

• A． 18$\sqrt{2}$+9π
• B． 9$\sqrt{2}$+4.5π
• C． 9$\sqrt{2}$+9π
• D． $\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$+4.5π

Answer 1

分析 如图，连接OB，作OE⊥AB于E，在AE上截取AF=OF，设OE=x，则AF=OF=$\sqrt{2}$x，在Rt△AOE中，利用勾股定理可得6²=x²+（x+$\sqrt{2}$x）²，推出x²=9（2-$\sqrt{2}$），根据S_阴=S_△AOB+S_扇形=$\frac{1}{2}$•AB•OE+$\frac{45•π•{6}^{2}}{360}$计算即可．

解答 解：如图，连接OB，作OE⊥AB于E，在AE上截取AF=OF．

∵BC是切线，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠BOC=∠C=45°，
∴设OE=x，则AF=OF=$\sqrt{2}$x，
在Rt△AOE中，6²=x²+（x+$\sqrt{2}$x）²，
∴x²=9（2-$\sqrt{2}$），
∴S_阴=S_△AOB+S_扇形=$\frac{1}{2}$•AB•OE+$\frac{45•π•{6}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$•2（x+$\sqrt{2}$x）•x+$\frac{9}{2}$π=9$\sqrt{2}$+4.5π．
故选B．

点评 本题考查切线的性质、扇形的面积公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．