题目内容

如图，抛物线y＝(x＋1)2＋k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0，－3)．

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标；

（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限．

① 当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；

② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，

把C (0，－3)代入y＝(x＋1)2＋k得

－3＝1＋k  ∴k＝－4

（2）连结AC，交对称轴于点P

            ∵y＝(x＋1)2－4   令y＝0   可得(x＋1)2－4＝0

∴x1＝1   x2＝－3

∴A (－3，0)   B (1，0)

设直线AC的关系式为：y＝m x＋b

把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得，

－3m＋b＝0     b＝－3     ∴m＝－1

∴线AC的关系式为y＝－x－3

当x＝－1时，y＝1－3＝－2

∴P (－1，－2)

② 当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．

（3）① 设M的坐标为（x, (x＋1)2－4）

     ∴S△AMB＝×AB×｜ym｜＝×4×[4－(x＋1)2]

＝8－2(x＋1)2

当x＝－1时，S最大，最大值为S＝8

M的坐标为(－1，－4)

② 过M作x轴的垂线交于点E，连接OM，

S四边形AMCB＝S△AMO＋S△CMO＋S△CBO＝×AB×|ym|＋×CO×|xm|＋×OC×BO

＝6－ (x＋1)2＋×3×(－x)＋×3×1

＝－x2－ x＋6＝－（x2＋3x－9）＝－（x＋）2－

当x＝－ 时，S最大，最大值为

练习册系列答案
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如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y＝kx＋4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C(2，2)．

【小题1】求直线与抛物线的解析式．
【小题2】若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设∠PON＝，求当△PON的面积最大时tan的值．
【小题3】若动点P保持（2）中的运动线路，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．女女
【小题1】求该抛物线的解析式；
【小题2】当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC；
【小题3】当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x1、x2

恰是方程的两根，且sin∠OBC＝.

1.求该抛物线的解析式；

2.抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由

3.在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

 

 (14分)如图，抛物线:y＝ax2＋bx+1的顶点坐标为D（1,0），

1.（1）求抛物线的解析式；

2.（2）如图1，将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线，直线，

    经过点D交y轴于点A，交抛物线于点B，抛物线的顶点为P,求△DBP的面积；

3.如图2，连结AP,过点B作BC⊥AP于C,设点Q为抛物线上点至点之间的一动点，

 连结 并延长交于点，试问：当点Q运动到什么位置时，△BCF的面积为。

 

（本题满分12分）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b

与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．

(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；

(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶

点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．

 

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