题目内容

(本题满分12分)如图,抛物线ya(x1)(x5)x轴的交点为MN.直线ykxb

x轴交于P(20),与y轴交于C.若AB两点在直线ykxb上,且AO=BO=AOBOD为线段MN的中点,OHRt△OPC斜边上的高.

(1)OH的长度等于___________;k=___________,b=____________;

(2)是否存在实数a,使得抛物线ya(x1)(x5)上有一点E,满足以DNE为顶

点的三角形与△AOB相似?若不存在,说明理由;若存在,求所有符合条件的抛物线的解析式,同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E(简要说明理由);并进一步探索对符合条件的每一个E点,直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG,写出探索过程.

 

【答案】

见解析

【解析】(1)OH=1;k=,b=;  (各1分)

(2)设存在实数a,是抛物线y=a (x+1)(x-5)上有一点E,满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似

∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形,且这样的三角形最多只有两类,一类是以DN为直角边的等腰直角三角形,另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形.

①若DN为等腰直角三角形的直角边,则ED⊥DN.

由抛物线y=a(x+1)(x-5)得:M(-1,0),N(5,0)

∴D(2,0),∴ED=DN=3,∴E的坐标是(2,3).

把E(2,3)代入抛物线解析式,得a=

∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-5)

即y=x2x+               (2分)

②若DN为等腰直角三角形的斜边,则DE⊥EN,DE=EN.

∴E的坐标为(3.5,1.5)

把E(3.5,1.5)代入抛物线解析式,得a=

∴抛物线解析式为y=(x+1)(x-5),即y=x2x+      (2分)

当a=时,在抛物线y=x2x+上存在一点E(2,3)满足条件,如果此抛物线上还有满足条件的E点,不妨设为E’点,那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形,由此得E’(3.5,1.5).显然E’不在抛物线y=x2x+上,因此抛物线y=x2x+上没有符合条件的其他的E点.          (1分)

当a=时,同理可得抛物线y=x2x+上没有符合条件的其他的E点.

                                                           (1分)

当E的坐标为(2,3),对应的抛物线解析式为y=x2x+时.

∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形,∴∠GNP=∠PBO=45°.

又∵∠NPG=∠BPO,∴△NPG∽△BPO.

,∴PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴总满足PB·PG<.    (2分)

当E的坐标为(3.5,1.5),对应的抛物线解析式为y=x2x+时,

同理可证得:PB·PG=PO·PN=2×7=14,∴总满足PB·PG<.       (1分)

 

 

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