Question

如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4．二次函数y=-x²+bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
解答：解：（1）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴．
∴A（，0）．（1分）
∵二次函数y=-x²+bx的图象经过点A，
∴．
解得．
∴二次函数的解析式为．（2分）
顶点C的坐标是（，3）．（1分）

（2）∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4，
∴AB=2．（1分）
由DE是二次函数的图象的对称轴，
可知DE∥AB，OE=AE．
∴．即得DE=1．（1分）
又∵C（，3），∴CE=3．
即得CD=2．（1分）
∴．（1分）

（3）根据题意，可设P（，n）．
∵，CE=3，
∴．（1分）
∴．
解得．（1分）
∴点P的坐标为P₁（，）、P₂（，）．（2分）
点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查了直角三角形内的三角函数，抛物线过一点，即代入求得；通过抛物线的对称轴来做题，方便快捷，这也考查了灵活的思维；通过面积的求得，来求得点的做标，只是考查的手段，问题考查的思路．