Question

4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且AE=BF，CE和DF相交于点O，有下列结论：
①CE=DF；②CE⊥DF；③CO=OE；④S_△C0D=S_{四边形0EBF}．
其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是正方形及AE=BF，可证出△BEC≌△CFD，则得到：①CE=DF，以及△BEC和△CFD的面积相等，得到；④S_△COD=S_{四边形OEBF}；可以证出∠OFC+∠FCO=90°，则②CE⊥DF一定成立．错误的结论是：③CO=OE．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∵AE=BF，
∴BE=CF，
在△BEC与△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠EBC=∠FCD=90°}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFD，
∴CE=DF（故①正确），S_△BEC=S_△CFD，∠BEC=∠DFC，∠BCE=∠FDC，
∵S_△COD=S_△CFD-S_△OFC，
S_{四边形OEBF}=S_△BCE-S_△OFC，
∴S_△COD=S_{四边形OEBF}（故④正确），
∵∠BEC+∠ECB=∠DFC+∠ECB=90°
∴∠DFC+∠ECB=90°
∴CE⊥DF一定成立（故②正确）．
假设CO=OE，
∵CE⊥DF（已证），
∴CF=EF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BEF中，EF＞BE，
∴EF＞CF，这与正方形的边长EF=CFC相矛盾，
∴，假设不成立，CO≠OE（故③错误）；
故选：B

点评 本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△BEC≌△CFD是解题的关键，也是本题的突破口．