Question

13．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y₁（元）与国内销售量x（千件）的关系为：
y₁=$\left\{\begin{array}{l}{15x+90（0＜x≤2）}\\{-5x+130（2＜x＜6）}\end{array}\right.$，y₂=$\left\{\begin{array}{l}{100（0＜t≤2）}\\{-5t+110（2≤t＜6）}\end{array}\right.$
若在国外销售，平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：
（1）用x的代数式表示t为：t=6-x；当0＜x≤4时，y₂与x的函数关系为：y₂=5x+80；当4＜x＜6时，y₂=100；
（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据x+t=6，可得t=6-x；然后判断出0＜x≤4时，t的取值范围，即可确定出y₂与x的函数关系；最后根据0＜t≤2时，y₂=100，确定出x的取值范围即可．
（2）根据题意，分三种情况：①当0＜x≤2时；②当2＜x≤4时；③当4＜x＜6时；再根据总价=单价×数量，求出每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式即可．
（3）根据题意，分三种情况：①当0＜x≤2时；②当2＜x≤4时；③当4＜x＜6时；分别求出公司每年的总利润最大值是多少；然后比较大小，判断出该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大即可．

解答 解：（1）∵x+t=6，
∴t=6-x；
当0＜x≤4时，2≤t＜6，
y₂=-5t+110
=-5（6-x）+110
=5x+80
∵0＜t＜2时，y₂=100
∴0＜6-x＜2，
∴4＜x＜6，
∴当4＜x＜6时，y₂=100．

（2）分三种情况：
①当0＜x≤2时，
w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x²+40x+480；
②当2＜x≤4时，
w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x²+80x+480；
③当4＜x＜6时，
w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x²+30x+600；
综上，可得
w=$\left\{\begin{array}{l}{1{0x}^{2}+40x+480（0＜x≤2）}\\{-1{0x}^{2}+80x+480（2＜x≤4）}\\{-{5x}^{2}+30x+600（4＜x＜6）}\end{array}\right.$

（3）当0＜x≤2时，w=10x²+40x+480=10（x+2）²+440，
此时x=2时，w_最大=600；
当2＜x≤4时，w=-10x²+80x+480=-10（x-4）²+640，
此时x=4时，w_最大=640；
当4＜x＜6时，w=-5x²+30x+600=-5（x-3）²+645，
4＜x＜6时，w＜640；
∴x=4时，w_最大=640．
∴该公司每年国内的销售量为4千件，国外的销售量为2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．
故答案为：6-x；5x+80；4；6．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．