Question

4．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（　　）

• A． ∠OBA=∠OCA
• B． 四边形OABC内接于⊙O
• C． AB=2BC
• D． ∠OBA+∠BOC=90°

Answer 1

分析 过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，于是得到$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$，推出AE=BE=BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=90°-∠BOC，∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）=90°-$\frac{3}{2}$∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；

解答 解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE=$\frac{1}{2}∠$AOB，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠AOE=∠BOE=∠BOC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$=$\widehat{BC}$，
∴AE=BE=BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA=OB=OC，
∴∠OBA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=90°-∠BOC，
∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）=90°-$\frac{3}{2}$∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE=∠BOC=$\frac{1}{2}∠$AOB，
∵∠BOE+∠OBA=90°，
∴∠OBA+∠BOC=90°，故D正确；
故选D．

点评 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．