Question

1．已知：直线l₁：y=2x+4与x轴交于点A，直线l₂经过点B（3，0）和C（1，1），两直线交于点D．
（1）求直线l₂的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在线段BD上（不与B，D两点重合），设点M的横坐标为t，△ADM的面积为S，求S与t的函数解析式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点B、C的坐标利用待定系数法，即可求出直线l₂的函数表达式；
（2）联立两直线表达式成方程组，通过解方程组即可求出点D的坐标；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、M的坐标，再根据S=S_△ABD-S_△ABM，即可求出S与t的函数解析式．

解答 解：（1）设直线l₂的函数表达式为y=kx+b，
将（3，0）、（1，1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

（2）联立两直线表达式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（-1，2）．

（3）当y=2x+4=0时，x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0）．
依照题意画出图形，如图所示．
∵点M的横坐标为t（-1＜t＜3），点M在直线l₂上，
∴点M的坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$），
∴S=S_△ABD-S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•（y_D-y_M）=$\frac{1}{2}$×[3-（-2）]×[2-（-$\frac{1}{2}$t+$\frac{3}{2}$）]=$\frac{5}{4}$t+$\frac{5}{4}$．
∴S与t的函数解析式为S=$\frac{5}{4}$t+$\frac{5}{4}$（-1＜t＜3）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点B、C的坐标利用待定系数法，求出直线l₂的函数表达式；（2）联立两函数表达式成方程组，通过解方程组求出交点坐标；（3）利用分割求面积法求出S与t的函数解析式．