Question

9．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以BC为直径作半圆O，过点A作半圆O的切线交CD于点E，切点为F，则AE的长为$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 易证得AB，CD是⊙O的切线，然后由切线长定理可得AF=AB=3，EF=EC，设AE=x，则EF=AE-AF=x-3，即可得DE=6-x，然后由勾股定理得方程：4²+（6-x）²=x²，解此方程即可求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=3，AD=BC=4，
∴AB，CD是⊙O的切线，
∵AE是⊙O的切线，
∴AF=AB=3，EF=EC，
设AE=x，则EF=AE-AF=x-3，
∴DE=CD-EC=3-（x-3）=6-x，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
∴4²+（6-x）²=x²，
解得：x=$\frac{13}{3}$，
∴AE=$\frac{13}{3}$．
故答案为：$\frac{13}{3}$．

点评 此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的性质以及勾股定理．注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．