Question

16．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F、G，连接ED、DG．
（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的长．

Answer 1

分析 （1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．
（2）作DH⊥BC于H，由四边形EBGD为菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解决问题．

解答 解：（1）四边形EBGD是菱形．
理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{∠EFD=∠GFB}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．

（2）作DH⊥BC于H，
∵四边形EBGD为菱形ED=DG=2，
∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，
∴DH=1，GH=$\sqrt{3}$，
∵∠C=45°，
∴DH=CH=1，
∴CG=GH+CH=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．